การลู่เข้าเอกรูปของลำดับของการส่งกึ่งคงแบบ

Abstract

ทฤษฎีบทอันเป็นที่รู้จักทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งนำเสนอโดย POMMERENKE ได้กล่าวไว้ว่า การส่งคงแบบของจานเปิดหนึ่งหน่วย B ไปทั่วถึงโดเมนที่มีขอบเขต D สามารถขยายความต่อเนื่องไปยังส่วนปิดคลุมของ B ได้ ก็ต่อเมื่อ ส่วนเติมเต็มของ D เป็นเซตเชื่อมโยงเฉพาะที่ ในวิทยานิพนธ์นี้ เราได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทนี้ยังคงเป็นจริงสำหรับการส่งกึ่งคงแบบด้วย นอกจากนี้ เราได้ศึกษาเกี่ยวกับการลู่เข้าเอกรูปของลำดับของการส่งกึ่งคงแบบ เราได้แสดงว่า ถ้าลำดับ (fn) ของการส่งกึ่งคงแบบของจานเปิดหนึ่งหน่วย B ไปยังโดเมนที่มีขอบเขตลู่เข้าสู่สาทิสสัณฐาน f และแต่ละการส่ง fn สามารถขยายความต่อเนื่องไปยังส่วนปิดคลุมของ B ได้ แล้ว ลำดับ (fn) ลู่เข้าเอกรูปสู่ f เมื่อวงศ์ของส่วนเติมเต็มของภาพของ B ภายใต้การส่งกึ่งคงแบบ fn เป็นเซตเชื่อมโยงเฉพาะที่เอกรูป

A well-known theorem, due to Pommerenke, states that a conformal mapping of the open unit disk B onto a bounded domain D can be extended continuously to the closure of B if and only if the complement of D is locally connected. In this thesis we show this result also holds for quasiconformal mappings.

We also investigate the uniform convergence of a sequence of quasiconformal mappings. For instance, we show that if (f¬n) is a sequence of K-quasiconformal mappings of the open unit disk B into bounded domains converging to a homeomorphism f and if each f¬n admits an extension to a continuous mapping of the closure of B, then the convergence is uniform B precisely when the complements of the image domains are uniformly locally connected.