Mixed Distribution for Insurance Premium Pricing under the Bonus-Malus System and Estimation of Ruin Probability for Insurance Companies

Abstract

This study aims to construct a probability distribution function for insurance losses based on both the number of claims and severity of claims. The research applies three main mathematical and statistical approaches: Azzalini technique, the transmuted distribution technique, and the mixed distribution technique, to obtain a probability distribution that effectively reflects the characteristics of real motor insurance data. Furthermore, this research proposes a premium calculation model under a Bonus–Malus System (BMS) for automobile insurance, jointly considering claim frequency and claim severity within a Bayesian framework. In addition, a surplus process is simulated to estimate the ruin probability of an insurance company and to examine the relationship between initial capital and ruin probability. The results can be used as a guideline for determining the minimum initial capital in accordance with company policy, thereby supporting the stable and sustainable operation of insurance companies.

For claim frequency, this study proposes probability distribution functions constructed by mixing the Poisson distribution with the New Two Weighted Exponential distribution function and the Adaptive Cubic Rank Transmuted Exponential distribution function. Based on the proposed distributions, premium calculation models under a bonus–malus system are developed within a Bayesian framework. For claim severity, mixed probability distributions combining the gamma distribution with the New Two Weighted Exponential distribution function and the Adaptive Cubic Rank Transmuted Exponential distribution function are proposed. Similarly, Bayesian bonus–malus premium calculation models are developed based on these proposed severity distribution function.

The parameter estimation for the claim frequency and claim severity models is conducted using the maximum likelihood estimation (MLE) method. Model adequacy is assessed using three goodness-of-fit tests: the chi-square goodness-of-fit test, the Kolmogorov–Smirnov test and the Anderson–Darling test. In addition, model comparison is performed using the Akaike Information Criterion (AIC) and the Bayesian Information Criterion (BIC).

The Bayesian approach was employed to derive the posterior distributions function for both the claim frequency and claim severity models. The expected values of these posterior distributions were then used to estimate the insurance premiums. Specifically, the premium was calculated as the product of the expected claim frequency from the frequency component model and the expected claim severity from the severity component model.

The analysis of probability distribution functions for insurance claim frequency indicated that the Poisson – New Two weighted exponential distribution and the Poisson – Adaptive Cubic Rank transmuted Exponential distribution provided the best fit to the automobile insurance claim frequency data. Similarly, for claim severity, The Gamma – New Two weighted exponential distribution and the Gamma – Adaptive Cubic Rank transmuted Exponential distribution exhibited the best performance in capturing the characteristics of insurance claim severity.

The insurance premium for the claim frequency component was analyzed under a bonus–malus system using the Poisson–New Two Weighted Exponential distribution and the Poisson–Adaptive Cubic Rank Transmuted Exponential distribution. Under this system, the premium decreases when a policyholder reports no claims, while the premium increases when claims occur. Furthermore, determining insurance premiums by considering both the number of claims and severity of claims is concluded to be fairer than charging policyholders premiums based solely on the number of claims but also the severity of claims over the years the policyholder has been in the portfolio. In addition, different distributions of claim frequency and claim severity result in varying levels of stringency in premium determination by insurers.

Considering the appropriate probability distribution function for describing the characteristics of claim severity data, the Gamma – New Two Weighted Exponential distribution was found to be suitable. Accordingly, the claim severity data were modeled using this distribution, which was then used to estimate the ruin probability in discrete-time risk processes over periods of 1 year, 3 years and 5 years. The results indicate that increases in initial capital and safety loading reduce the probability of ruin. It was also found that longer excess process durations lead to higher ruin probabilities across all levels of safety loading. In addition, the minimum initial capital decreases as safety loading increase, and this decrease becomes more pronounced at higher acceptable risk levels. The finding of this study can be used as a guideline for determining appropriate insurance premiums and initial capital, thereby supporting the stability and sustainability of the insurance business.

การศึกษานี้มีวัตถุประสงค์เพื่อสร้างฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับความสูญเสียทางประกันภัยโดยพิจารณาจำนวนครั้งและมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน งานวิจัยประยุกต์ใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์และสถิติ 3 แนวทางหลัก ได้แก่ เทคนิค Azzalini เทคนิคตระกูล Transmuted Distribution และเทคนิคการผสมการแจกแจง (Mixing Distribution) เพื่อให้ได้ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สะท้อนลักษณะข้อมูลจริงทางประกันภัยรถยนต์ได้อย่างเหมาะสม นอกจากนี้งานวิจัยได้เสนอตัวแบบการคำนวณเบี้ยประกันภัยภายใต้ระบบลดเบี้ย-เพิ่มเบี้ย ในการประกันภัยรถยนต์โดยพิจารณาจากจำนวนครั้งและมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนร่วมกัน ภายใต้กรอบแนวคิดของเบย์เซียน พร้อมทั้งจำลองสถานการณ์ภายใต้กระบวนการส่วนเกิน เพื่อประเมินความน่าจะเป็นที่บริษัทประกันภัยจะล้มละลาย รวมทั้งศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างเงินทุนเริ่มต้นกับความน่าจะเป็นที่บริษัทประกันภัยจะล้มละลาย เพื่อใช้เป็นแนวทางในการกำหนดเงินทุนเริ่มต้นขั้นต่ำให้สอดคล้องกับนโยบายของบริษัท และช่วยส่งเสริมความสามารถในการดำเนินกิจการของบริษัทประกันภัยให้เป็นไปอย่างต่อเนื่องและมั่นคง

ในส่วนของจำนวนครั้งในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนได้นำเสนอฟังก์ชันการแจกแจงโดยการผสมฟังก์ชันการแจกแจงปัวซงกับฟังก์ชันการแจกแจงเลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก และฟังก์ชันการแจกแจงเลขชี้กำลังแบบแปลงอันดับกำลังสามที่ถูกปรับ และได้นำเสนอตัวแบบการคำนวณเบี้ยประกันภัยภายใต้ระบบลดเบี้ย-เพิ่มเบี้ยประกันภัยจากฟังก์ชันที่ได้นำเสนอ ภายใต้กรอบแนวคิดของเบย์เซียน สำหรับฟังก์ชันการแจกแจงของมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน ได้นำเสนอฟังก์ชันการแจกแจงผสมระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงแกมมากับฟังก์ชันการแจกแจงเลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก และฟังก์ชันการแจกแจงเลขชี้กำลังแบบแปลงอันดับกำลังสามที่ถูกปรับ พร้อมทั้งเสนอตัวแบบการคำนวณเบี้ยประกันภัยภายใต้ระบบลดเบี้ย-เพิ่มเบี้ยประกันภัยจากฟังก์ชันที่ได้นำเสนอ ภายใต้กรอบแนวคิดของเบย์เซียนเช่นเดียวกัน

วิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์สำหรับตัวแบบจำนวนครั้งและมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนจะใช้การประมาณค่าด้วยวิธีภาวะน่าจะเป็นสูงสุด วิธีการทดสอบความเหมาะสมของตัวแบบ ใช้การทดสอบภาวะสารูปดี 3 วิธี ได้แก่ การทดสอบภาวะสารูปดีโดยสถิติไคกำลังสอง การทดสอบภาวะสารูปดีโดยสถิติโครโมโกรอฟ–สมีร์นอฟ และการทดสอบภาวะสารูปดีโดยสถิติแอนเดอร์สัน-ดาร์ลิ่ง นอกจากนี้ ได้มีการพิจารณาเกณฑ์สารสนเทศของอะกะอิเกะ และเกณฑ์สารสนเทศของเบส์ร่วมด้วย

วิธีของเบย์เซียนถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้ฟังก์ชันภายหลังสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงของจำนวนครั้งและฟังก์ชันการแจกแจงของมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันเหล่านี้ใช้เพื่อประมาณค่าเบี้ยประกันภัยที่จะเรียกเก็บจากผู้ถือกรมธรรม์ ค่าเบี้ยประกันภัยที่เหมาะสมได้มาโดยใช้ค่าคาดหมายของจำนวนครั้งจากตัวแบบตามส่วนประกอบจำนวนครั้งคูณด้วยค่าคาดหมายของมูลค่าจากตัวแบบตามส่วนประกอบของมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน

ผลการพิจารณาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับจำนวนครั้งในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน พบว่าฟังก์ชันการแจกแจงปัวซง–เลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก และฟังก์ชันการแจกแจงปัวซง–แบบแปลงอันดับกำลังสามที่ถูกปรับเหมาะสมในการอธิบายลักษณะของข้อมูลจำนวนครั้งในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนของประกันภัยรถยนต์ ในขณะที่ฟังก์ชันการแจกแจงแกมมา–เลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก และฟังก์ชันการแจกแจงแกมมา–แบบแปลงอันดับกำลังสามที่ถูกปรับเหมาะสมในการอธิบายลักษณะของข้อมูลมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน

ผลการกำหนดเบี้ยประกันภัยในส่วนประกอบจำนวนครั้งในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนภายใต้ระบบลดเบี้ย-เพิ่มเบี้ยประกันภัย ซึ่งคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงปัวซง-เลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก และฟังก์ชันการแจกแจงปัวซง-แบบแปลงอันดับกำลังสามที่ถูกปรับ พบว่าเบี้ยประกันมีแนวโน้มลดลงเมื่อผู้เอาประกันภัยไม่มีการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน และเบี้ยประกันจะเพิ่มขึ้นเมื่อผู้เอาประกันภัยมีการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน นอกจากนี้ การกำหนดเบี้ยประกันภัยโดยพิจารณาทั้งองค์ประกอบจำนวนครั้งและมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมร่วมกัน สรุปได้ว่าเป็นการยุติธรรมมากกว่าที่จะเรียกเก็บเบี้ยประกันกับผู้ถือกรมธรรม์ที่ไม่พิจารณาถึงจำนวนครั้งในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนเพียงอย่างเดียว แต่ยังรวมถึงมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนภายใต้จำนวนปีที่ผู้ถือกรรมธรรม์อยู่ในพอร์ตโฟลิโอ อีกทั้งเมื่อการแจกแจงของจำนวนครั้งและมูลค่าที่แตกต่างกันส่งผลต่อความเข้มงวดของบริษัทในการเรียกเก็บเบี้ยประกันภัยต่อผู้เอาประกันภัยแตกต่างกัน

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เหมาะสมในการอธิบายลักษณะข้อมูลมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทน พบว่าฟังก์ชันการแจกแจงแกมมา-เลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก มีความเหมาะสม ดังนั้นจึงได้จำลองข้อมูลมูลค่าในการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนตามการแจกแจงแกมมา-เลขชี้กำลัง 2 พารามิเตอร์แบบถ่วงน้ำหนัก โดยใช้การแจกแจงดังกล่าวในการประมาณความน่าจะเป็นในการล้มละลายของกระบวนการส่วนเกินเวลาไม่ต่อเนื่องภายใต้ระยะเวลา 1 ปี 3 ปี และ 5 ปี ผลการวิจัยพบว่าเงินทุนเริ่มต้นและค่าเผื่อความปลอดภัยที่เพิ่มขึ้นช่วยลดความน่าจะเป็นในการล้มละลาย อีกทั้งเมื่อกระบวนการส่วนเกินถูกดำเนินไปในระยะเวลาที่ยาวนานขึ้นส่งผลให้ความน่าจะเป็นในการล้มละลายเพิ่มขึ้นในทุกระดับของค่าเผื่อความปลอดภัย นอกจากนี้ เงินทุนเริ่มต้นต่ำที่สุดจะลดลงเมื่อค่าเผื่อความปลอดภัยเพิ่มขึ้น และจะยิ่งลดลงเมื่อยอมรับระดับความเสี่ยงได้สูงขึ้น ผลการวิจัยนี้สามารถใช้เป็นแนวทางในการกำหนดเบี้ยประกันภัยและเงินทุนเริ่มต้นที่เหมาะสม เพื่อสนับสนุนความความมั่นคงและความยั่งยืนของธุรกิจประกันภัย